1.1 Definición y origen de los números complejos.
-Definición de un número complejo .
No existe un número real x que satisfaga la ecuación polinómica 1 0 2
x + = . Para resolver este tipo
de ecuaciones, es necesario introducir los números complejos.
Se define un número complejo, z , mediante la siguiente expresión:
z ≡ x + jy
donde x e y son una pareja cualquiera de números reales. Llamamos j a la unidad imaginaria
compleja. Definimos j de la siguiente manera:
1 2
j ≡ − .
Si z = a + jb , a se llama la parte real de z y b la parte imaginaria de z y se denominan
mediante a = ℜ(z) y b = ℑ(z), respectivamente. El símbolo z , que puede representar cualquier
elemento del conjunto de números complejos, es llamado una variable compleja.
Dos números complejos a + jb y c + jd son iguales si y solamente si a = c y b = d . Podemos
considerar los números reales como el subconjunto del conjunto de los números complejos con
b = 0 . En este caso por ejemplo, los números complejos 0 + j0 y − 3 + j0 representan los
números reales 0 y –3, respectivamente. Si a = 0 , el número complejo 0 + jb o jb se llama un
número imaginario puro.
El conjugado de un número complejo a + jb es a − jb . El conjugado de un número complejo z se
indica frecuentemente por * z o
−
z .
1.2 Operaciones fundamentales con números complejos.
-Suma:
(a+jb )+(c+jd )=(a+c )+j (b+d )
-Resta:
(a+bj)-(c+jd)=(a-c)+j(b-d)
-Producto:
(a+jb).(c+jd)=ac+jad=jbc+j2bd+(ac-bd)+j(ad+bc)
-Divicion:
(a+jb) = (a+jb) (c-jd) = ac- jad+ jbc - j2bd =
(c+jd) (c+jd) (c_jd) c2-j2d2
=ac+bd=j(bc-ad) = ac+bd + j bc-a
c2 + d2 c2+d2 c2=d2
Autor: Patrici Molinàs Mata (pmolinas@uoc.edu), José Francisco Martínez Boscá
(jmartinezb@uoc.edu)
1.3 Potencias de "i", modulo o valor absoluto de un numero complejo.
Valor absoluto de un número complejo
El valor absoluto, módulo o magnitud de un
número complejo z viene dado por la siguiente expresión:
Si pensamos en z como algún punto en el
plano; podemos ver, por el teorema de Pitágoras, que el valor absoluto de un
número complejo coincide con la distancia euclídea desde el origen del plano.
Si el complejo está escrito en forma
exponencial z=r eiφ, entonces | z| =r . Se puede expresar en forma polar como z
=r (cosφ + isenφ), donde cosφ + isenφ = e iφ es la conocida fórmula de Euler.
Para encontrar el resultado de cualquier potencia de la unidad
imaginaria “i” cogemos su exponente, y lo dividimos entre 4, y el resto siempre
que va a se menor que 4 , será el valorque buscamos.
1.4 Forma polar y exponencial de un numero complejo.
Forma Polar
Sean r y θ coordenadas polares del punto (x, y) que corresponde a un número complejo no nulo z = x + iy. Como
x = r cos θ e y = r sen θ
z puede ser expresado en forma polar como
z = r(cosθ + i senθ).
En análisis complejo, no se admiten r negativos; sin embargo, como en el Cálculo, θ tiene infinitos valores posibles, incluyendo valores negativos.
Forma exponencial
La ecuación
eiθ = cos θ + i sen θ
que define el simbolo eiθ, o exp (iθ), para todo valor real de θ, se conoce como fórmula de Euler. Si escribimos un número complejo no nulo en forma polar
z = r(cos θ + i sen θ),
la fórmula de Euler permite expresar z más compactamente en forma exponencial:
z = reiθ
1.5 Teorema de Moivre, potencias y extracciones de raíces de un numero complejo.
Potencias de números complejos
Las potencias enteras de un número complejo no nulo z = reiθ vienen dadas por
z = rneinθ (n = 0, +1, -1, +2, -2 ...)
Como zn+1 = zzn cuando n=1,2,..., esto se comprueba fácilmente para valores positivos de n por
inducción, para el producto de números complejos en forma exponencial.
La ecuación es válida también para n = 0 con el convenio de que z0 = 1. Si n = -1, -2..., por otro lado, definimos zn en términos del inverso multiplicativo de z escribiendo zn = (z-1)m, donde m = -n = 1, 2, ... Entonces, como la ecuación z = rneinθ es válida para potencias enteras positivas, se sigue de la forma exponencial de z-1 que
zn = [1/r ei(-θ)]m = (1/r)m eim(-θ) = rneinθ
Por tanto, la ecuación z = rneinθ es válida para toda potencia entera.
Nótese que si r = 1, z = rneinθ se convierte en
(eiθ)n = eiθn (n = 0, ±1, ±2 ...)
Cuando se expresa en la forma
(cos θ + i sen θ)n = cos nθ + i sen nθ
que se le conoce como la fórmula de De Moivre
1.6 Ecuaciones polinomicas.
