Unidad 3.- SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

3.1 Definicion de sistemas de ecuaciones lineales.

En matemáticas, un sistema de ecuaciones lineales, también conocido como sistema lineal de ecuaciones, es un conjunto de ecuaciones lineales (es decir, un sistema de ecuaciones en donde cada ecuación es de primer grado), definidas sobre un cuerpo o un anillo conmutativo. Un ejemplo de sistema lineal de ecuaciones sería el siguiente: 

 

El problema consiste en encontrar los valores desconocidos de las variables x₁, x₂ y x₃ que satisfacen las tres ecuaciones.

El problema de los sistemas lineales de ecuaciones es uno de los más antiguos de la matemática y tiene una infinidad de aplicaciones, como en procesamiento digital de señales, análisis estructural, estimación, predicción y más generalmente en programación lineal así como en la aproximación de problemas no lineales de análisis numérico.  Por eso mismo en esta unidad abordaremos métodos matemáticos que nos permitan una mayor facilidad para la resolución de estos sistemas. 

- Operaciones fundamentales

Las operaciones fundamentales que se le pueden efectuar a las ecuaciones (filas) de un sistema lineal de ecuaciones son las siguientes:

a) Intercambio: el orden de las filas puede cambiar.

b) Escalado: multiplicación de una fila por una constante no nula.

c) Sustitución: una fila puede ser remplazada por la suma de esa fila más un múltiplo de cualquier otra fila

 3.2 Clasificación de los sistemas de ecuaciones lineales y tipos de solución.

Podemos clasificar los sistemas de ecuaciones lineales según su número de soluciones de la siguiente forma:

1. Sistemas con una solución: Las ecuaciones del sistema son rectas secantes. Se cortan en un punto (x, y) que es la solución del sistema
2. Sistemas sin solución: Las ecuaciones del sistema son rectas paralelas. No tienen ningún punto en común, y por tanto no hay solución
3. Sistemas con infinitas soluciones: Las ecuaciones del sistema son rectas coincidentes. Tienen todos los puntos en común, y por tanto todos ellos son solución

¿Qué condiciones deben cumplir las ecuaciones para que el sistema tenga una, ninguna o infinitas soluciones?

1. Una solución: Los coeficientes de x e y  de las dos ecuaciones no son proporcionales

                  Ejemplo:

2. Ninguna solución: Los coeficientes de x e y de una ecuación son proporcionales a los de la otra, mientras que los términos independientes no lo son

                  Ejemplo:

3. Infinitas soluciones: Los coeficientes de x e y, y el término independiente de una ecuación, son proporcionales a los de la otra

                  Ejemplo:

3.3 Interpretación geométrica de las soluciones

Cada ecuación representa un plano en el espacio tridimensional. Luego se trata de estudiar la posición relativa de tres planos en el espacio. Las soluciones del sistema son geométricamente los puntos de intersección de los tres planos, los casos son:

▲ Un punto único.  Sistema  compatible determinado.. Los tres planos se cortan en P.

                                              

· Una recta. Son soluciones todos los puntos representativos de la recta común. Sistema compatible indeterminado con un grado de libertad.

Los planos se cortan en r.

 ▼ Un plano. Los planos son coincidentes. El sistema es compatible indeterminado con dos grados de libertad.

◄ Ningún punto. El sistema es incompatible. Esta situación se presenta geométricamente de distintas maneras. Para estudiar las posiciones relativas de los planos hay que tomarlos de dos en dos.

Se pueden presentar varios casos: Que los planos sean paralelos:

3.4 Métodos de solución de un sistema de ecuaciones lineales: Gauss, Gauss-Jordan, inversa de una matriz y regla de Cramer.

Eliminación de Gauss

Este método se aplica para resolver sistemas de líneas obteniendo un sistema equivalente:

      

                       

De donde la notación se usa simplemente para denotar que cambio. Se despejan las incógnitas comenzando con la última ecuación y hacia arriba. Por esta razón, muchas veces se dice que el método consiste en la eliminación hacia delante y la sustitución hacia atrás

Ejemplo

Resolver el siguiente sistema por eliminación Gaussiana

Matriz de Gauss-Jordan

Este método utiliza las mismas técnicas de eliminación Gaussiana con el objetivo de finalizar con una matriz de la siguiente forma:

1     0…  0       

           

0     1...  0       

           

            0     0…  1       

De donde ,  y      son las soluciones de sistemas de ecuaciones.

Ejemplo 1

Usar el método de Gauss – Jordan para dar solución al siguiente sistema de ecuaciones

MÉTODO MATRIZ INVERSA

Consideremos el sistema de ecuaciones lineales;

Sea A la matriz de los coeficientes,

Sean X y B los vectores columnas definidos por

Empleando la multiplicación matricial, el anterior sistema de ecuaciones lineales puede entonces escribirse como

Aquí A es una matriz de 3x3, X es una de 3x1 y el producto es una matriz de 3x1, los mismo que B. En el caso general A sería de n x n, X de n x 1, y B de n x 1.

Supongamos ahora que A es no singular. Entonces la inversa A⁻¹ existe y podemos multiplicar ambos miembros de A · X = B por A⁻¹ por la izquierda, para obtener

Pero tenemos

por eso (*) se convierte en

y hemos expresado la solución X del sistema anterior como el producto de A⁻¹ por B.

Ejemplo:

Resolver el siguiente sistema de ecuaciones usando matrices:

Solución:

Usando cualquier método para hallar la matriz inversa se encuentra que la matriz inversa de los coeficientes es

Tenemos entonces el sistema matricial siguiente;

y la solución del sistema es:

MÉTODO REGLA DE CRAMER

La regla de Cramer sirve para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Se aplica a sistemas que cumplan las dos condiciones siguientes:

·         El número de ecuaciones es igual al número de incógnitas.

·         El determinante de la matriz de los coeficientes es distinto de cero.

·         Tales sistemas se denominan sistemas de Cramer.

Llamemos Δ el determinante de la matriz de coeficientes de las incógnitas.

Y sean:

Δ 1, Δ 2, Δ 3 ... , Δ n los determinantes que se obtiene al sustituir los coeficientes la columna de los términos independientes) en la 1ª columna , en la 2ª columna, en la 3ª columna y en la enésima columna respectivamente.

Un sistema de Cramer tiene una sola solución que viene dada por las siguientes expresiones:

Problemas modelos

1. Alejandra tiene 27 años más que su hija Carmen. Dentro de 8 años, la edad de Alejandra doblará a la de Carmen. ¿Cuántos años tiene cada una?

Solución

1º. Comprender el problema.

Es un problema con dos incógnitas y dos condiciones, luego suficientes para poder determinarlas. Llamamos x a la edad de Alejandra e y a la de su hija.

Ordenamos los elementos del problema:

	Hoy	dentro de 8 años
La madre	x	x + 8
La hija	y	y + 8

2º. Concebir un plan.

Escribimos las ecuaciones que relacionan los datos con las incógnitas:

     x = 27 + y        x + 8 = 2(y +8)

Es un sistema lineal de dos ecuaciones con dos incógnitas.  Lo resolveremos por el método de sustitución.

3º Ejecutar el plan.            x = 27 + y       

Entonces:           27 + y +8 = 2(y +8) de donde  35 -16 = y Þ y = 19, x = 46

4º Examinar la solución obtenida .

La solución obtenida es factible por ser entera. El método empleado se puede usar en problemas “similares”.

Nota. En los demás problemas  el alumno indicará las cuatro fases.

2. Un grupo de personas se reúne para ir de excursión, juntándose un total de 20 entre hombres, mujeres y niños. Contando hombres y mujeres juntos, su número resulta ser el triple del número de niños. Además, si hubiera acudido una mujer más, su número igualaría al de los hombres. ¿Cuántos hombres, mujeres y niños han ido de excursión.

Solución . Sean:

hombres	x
mujeres	y
niños	z

Luego:

x + y + z = 20 

x + y  = 3z                     Es un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas.

x  = y + 1               Se resuelve por reducción:

Restamos a la 1º ecuación la 2ª

z =20-3z Þ 4z = 20 Þ z =5 , sustituyendo en la 2ª nos queda:

x +y =15       que junto con la 3ª forman un sistema de dos ecuaciones:

x –y =1

Sumando nos queda 2x = 16 Þ x =8  ,  y =7

Otra forma

Utilizando el método de Gauss .

El sistema que resulta es:

x +   y +   z = 20 

    -2 y + 3z =  1                  

                z =  5

Sustituyendo en la 2º ecuación

2y = 3z-1 = 14 Þ y =7

Sustituyendo los valores hallados en la 1ª ecuación:

x = 20 –y –z = 20-7-5=8

3. Lewis Carroll, autor de Alicia en el país de las maravillas, propone un problema que puede enunciarse así: el consumo en una cafetería de un vaso de limonada, tres sandwiches y siete bizcochos ha costado 1 chelín y 2 peniques, mientras que un vaso de limonada, cuatro sandwiches y diez bizcochos vale 1 chelín y 5 peniques. Hallar cuál es el precio:

1º) De un vaso de limonada, un sandwich y un bizcocho.

2º) De dos vasos de limonada, tres sandwiches y cinco bizcochos.

Resolver el problema recordando que 1 chelín vale 12 peniques.

Solución

Es un problema con tres incógnitas y sólo dos condiciones, luego los valores de las incógnitas no se podrán determinar.

Llamamos : x al precio de un vaso de limonada, y al  de un sándwich y z  al de un bizcocho.

Entonces:  x + 3y +   7z = 14  (peniques)

                 x + 4y + 10z = 17

Lo resolvemos por Gauss:

el sistema escalonado es:      x + 3y + 7z = 14  (peniques)   

                                                  y + 3z =  3,   

que tiene menos ecuaciones que incógnitas.  Es por tanto un sistema compatible indeterminado, con  un grado de libertad.

Haciendo z =t, nos queda x = 5 + 2t,    y =  3 - 3t ,

Encontremos los precios de las combinaciones que nos piden.

1º) x + y + z = (5 + 2t) + (3 - 3t) + t =8 peniques. (no depende de t)

2º) 2x + 3y + 5z = 10 + 4t + 9 -9t +5t= 19 peniques.     “