En
matemáticas, un sistema de ecuaciones lineales, también conocido como sistema
lineal de ecuaciones, es un conjunto de ecuaciones lineales (es decir, un
sistema de ecuaciones en donde cada ecuación es de primer grado), definidas
sobre un cuerpo o un anillo conmutativo. Un ejemplo de sistema lineal de
ecuaciones sería el siguiente:
El
problema consiste en encontrar los valores desconocidos de las variables x1, x2 y x3 que satisfacen las tres
ecuaciones.
El
problema de los sistemas lineales de ecuaciones es uno de los más antiguos de
la matemática y tiene una infinidad de aplicaciones, como en procesamiento
digital de señales, análisis estructural, estimación, predicción y más
generalmente en programación lineal así como en la aproximación de problemas no
lineales de análisis numérico. Por eso mismo en esta unidad abordaremos
métodos matemáticos que nos permitan una mayor facilidad para la resolución de
estos sistemas.
-
Operaciones fundamentales
Las operaciones
fundamentales que se le pueden efectuar a las ecuaciones (filas) de un sistema
lineal de ecuaciones son las siguientes:
a)
Intercambio: el orden de las filas puede cambiar.
b)
Escalado: multiplicación de una fila por una constante no nula.
c) Sustitución:
una fila puede ser remplazada por la suma de esa fila más un múltiplo de
cualquier otra fila
Podemos clasificar los sistemas de ecuaciones lineales según su número
de soluciones de la siguiente forma:
- Sistemas con
una solución: Las
ecuaciones del sistema son rectas secantes. Se cortan en un punto (x, y)
que es la solución del sistema
- Sistemas sin
solución: Las ecuaciones del
sistema son rectas paralelas. No tienen ningún punto en común, y por tanto
no hay solución
- Sistemas con
infinitas soluciones: Las
ecuaciones del sistema son rectas coincidentes. Tienen todos los puntos en
común, y por tanto todos ellos son solución
¿Qué condiciones deben cumplir las ecuaciones para que el sistema tenga
una, ninguna o infinitas soluciones?
- Una solución: Los coeficientes de x e y de las dos ecuaciones no son
proporcionales
Ejemplo: 
- Ninguna solución: Los coeficientes de x e y de una ecuación son
proporcionales a los de la otra, mientras que los términos independientes
no lo son
Ejemplo: 
- Infinitas
soluciones: Los
coeficientes de x e y, y el término independiente de una
ecuación, son proporcionales a los de la otra
Ejemplo: 
3.3
Interpretación geométrica de las soluciones
Cada ecuación representa un plano en el espacio
tridimensional. Luego se trata de estudiar la posición relativa de tres
planos en el espacio. Las soluciones del sistema son geométricamente los
puntos de intersección de los tres planos, los casos son:
▲ Un punto único. Sistema
compatible determinado.. Los tres planos se cortan en P.
 |
· Una recta. Son soluciones todos los puntos
representativos de la recta común. Sistema compatible
indeterminado con un grado de libertad.
Los planos se cortan en r.
▼ Un plano. Los planos son coincidentes.
El sistema es compatible indeterminado con dos grados de libertad.
◄ Ningún punto. El sistema es incompatible.
Esta situación se presenta geométricamente de distintas maneras. Para estudiar
las posiciones relativas de los planos hay que tomarlos de dos en dos.
Se pueden presentar varios casos: Que los planos
sean paralelos:
3.4
Métodos de solución de un sistema de ecuaciones lineales: Gauss, Gauss-Jordan,
inversa de una matriz y regla de Cramer.
Eliminación de Gauss
Este método se aplica para resolver sistemas de
líneas obteniendo un sistema equivalente:
De donde la notación 
se usa simplemente para denotar que 
cambio. Se despejan las incógnitas comenzando con la
última ecuación y hacia arriba. Por esta razón, muchas veces se dice que el
método consiste en la eliminación hacia delante y la sustitución hacia atrás
se usa simplemente para denotar que cambio. Se despejan las incógnitas comenzando con la
última ecuación y hacia arriba. Por esta razón, muchas veces se dice que el
método consiste en la eliminación hacia delante y la sustitución hacia atrás
Ejemplo
Resolver el siguiente sistema por eliminación Gaussiana
Matriz de Gauss-Jordan
Este método utiliza las mismas técnicas de
eliminación Gaussiana con el objetivo de finalizar con una matriz de la
siguiente forma:
1 0… 0 
0 1...
0 
0 0…
1 
De donde , y son las
soluciones de sistemas de ecuaciones.
, y son las
soluciones de sistemas de ecuaciones.
Ejemplo 1
Usar el método de Gauss – Jordan para dar solución
al siguiente sistema de ecuaciones
MÉTODO MATRIZ INVERSA
Consideremos el sistema de ecuaciones lineales;
Sea A la matriz de los coeficientes,
Sean X y B los vectores columnas definidos por
Empleando la
multiplicación matricial, el anterior sistema de ecuaciones lineales puede
entonces escribirse como
Aquí A es una
matriz de 3x3, X es una de 3x1 y el producto es una matriz de 3x1, los mismo
que B. En el caso general A sería de n x n, X de n x 1, y B de n x 1.
Supongamos ahora
que A es no singular. Entonces la inversa A−1 existe y podemos
multiplicar ambos miembros de A · X = B por A−1 por la izquierda,
para obtener
Pero tenemos
por eso (*) se convierte en
y hemos expresado la solución X del sistema anterior como el producto de
A−1 por B.
Ejemplo:
Resolver el siguiente sistema de ecuaciones usando matrices:
Solución:
Usando cualquier
método para hallar la matriz inversa se encuentra que la matriz inversa de los
coeficientes es
Tenemos entonces
el sistema matricial siguiente;
y la solución
del sistema es:
MÉTODO
REGLA DE CRAMER
La regla de Cramer sirve para
resolver sistemas de ecuaciones lineales. Se aplica a sistemas que cumplan las
dos condiciones siguientes:
·
El número de
ecuaciones es igual al número de incógnitas.
·
El determinante
de la matriz de los coeficientes es distinto de cero.
·
Tales sistemas
se denominan sistemas de Cramer.
Llamemos Δ el determinante
de la matriz de coeficientes de las incógnitas.
Y sean:
Δ 1, Δ
2, Δ
3 ...
, Δ n los determinantes que se obtiene al
sustituir los coeficientes la columna de los términos independientes) en la 1ª
columna , en la 2ª columna, en la 3ª columna y en la enésima columna respectivamente.
Un sistema de Cramer tiene una sola solución que
viene dada por las siguientes expresiones:
Problemas modelos
1. Alejandra tiene 27 años más que su hija Carmen.
Dentro de 8 años, la edad de Alejandra doblará a la de Carmen. ¿Cuántos años
tiene cada una?
Solución
1º. Comprender el problema.
Es un problema con dos incógnitas y dos condiciones,
luego suficientes para poder determinarlas. Llamamos x a la edad de
Alejandra e y a la de su hija.
Ordenamos los elementos del problema:
Hoy
|
dentro de 8 años
|
|
La madre
|
x
|
x + 8
|
La hija
|
y
|
y + 8
|
2º. Concebir un plan.
Escribimos las ecuaciones que relacionan los datos
con las incógnitas:
x = 27 +
y x + 8 = 2(y +8)
Es un sistema lineal de dos ecuaciones con dos incógnitas.
Lo resolveremos por el método de sustitución.
3º Ejecutar el
plan. x = 27
+ y
Entonces:
27 + y +8 = 2(y +8) de donde 35 -16 = y Þ y = 19, x = 46
4º Examinar la solución obtenida .
La solución obtenida es factible por ser entera. El
método empleado se puede usar en problemas “similares”.
Nota. En los demás problemas el alumno
indicará las cuatro fases.
2. Un grupo de personas se reúne para ir de excursión, juntándose un
total de 20 entre hombres, mujeres y niños. Contando hombres y mujeres juntos,
su número resulta ser el triple del número de niños. Además, si hubiera acudido
una mujer más, su número igualaría al de los hombres. ¿Cuántos hombres, mujeres
y niños han ido de excursión.
Solución . Sean:
hombres
|
x
|
mujeres
|
y
|
niños
|
z
|
Luego:
x + y + z = 20
x + y =
3z
Es un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas.
x = y +
1
Se resuelve por reducción:
Restamos a la 1º ecuación la 2ª
z =20-3z Þ 4z = 20 Þ z =5 , sustituyendo en la 2ª
nos queda:
x +y =15 que junto
con la 3ª forman un sistema de dos ecuaciones:
x –y =1
Sumando nos queda 2x = 16 Þ x =8 , y =7
Otra forma
Utilizando el método de Gauss .
El sistema que resulta es:
x + y + z = 20
-2 y + 3z =
1
z
= 5
Sustituyendo en la 2º ecuación
2y = 3z-1 = 14 Þ y =7
Sustituyendo los valores hallados en la 1ª ecuación:
x = 20 –y –z = 20-7-5=8
3. Lewis Carroll, autor de Alicia en el país de las maravillas, propone
un problema que puede enunciarse así: el consumo en una cafetería de un vaso de
limonada, tres sandwiches y siete bizcochos ha costado 1 chelín y 2 peniques,
mientras que un vaso de limonada, cuatro sandwiches y diez bizcochos vale 1
chelín y 5 peniques. Hallar cuál es el precio:
1º) De un vaso de limonada, un sandwich y un
bizcocho.
2º) De dos vasos de limonada, tres sandwiches y
cinco bizcochos.
Resolver el problema recordando que 1 chelín vale 12
peniques.
Solución
Es un problema con tres incógnitas y sólo dos
condiciones, luego los valores de las incógnitas no se podrán determinar.
Llamamos : x al precio de un vaso de
limonada, y al de un sándwich y z al de un bizcocho.
Entonces: x + 3y + 7z = 14
(peniques)
x + 4y + 10z = 17
Lo resolvemos por Gauss: 
el sistema escalonado
es: x + 3y + 7z = 14
(peniques)
y + 3z = 3,
que tiene menos ecuaciones que incógnitas. Es
por tanto un sistema compatible indeterminado, con un grado de libertad.
Haciendo z =t, nos queda x = 5 + 2t, y
= 3 - 3t ,
Encontremos los precios de las combinaciones que nos
piden.
1º) x + y + z = (5 + 2t) + (3 - 3t) + t =8 peniques.
(no depende de t)
2º) 2x + 3y + 5z = 10 + 4t + 9 -9t +5t= 19
peniques. “
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