Unidad 4.- ESPACIOS VECTORIALES

4.1 Definición de espacio vectorial.

Espacio vectorial real.

Un espacio vectorial real V es un conjunto de objetos, denominados vectores, junto con dos operaciones binarias llamadas suma y multiplicación por un escalar y que satisfacen los diez axiomas enumerados a continuación.

Notación. Si “x” y “y” están en V  y si a es un número real, entonces la suma se escribe como

 “x + y” y el producto escalar de a y x como ax.

Antes de presentar la lista de las propiedades que satisfacen los vectores en un espacio vectorial deben mencionarse dos asuntos de importancia. En primer lugar, mientras que puede ser útil pensar en R² o R³  al manejar un espacio vectorial, con frecuencia ocurre que el espacio vectorial parece ser muy diferente a estos cómodos espacios (en breve tocaremos este tema). En segunda instancia, la definición 1 ofrece una definición de un espacio vectorial real. La palabra “real” significa que los escalares que se usan son números reales. Sería igualmente sencillo definir un espacio vectorial complejo utilizando números complejos en lugar de reales. Este libro está dedicado principalmente a espacios vectoriales reales, pero las generalizaciones a otros conjuntos de escalares presentan muy poca dificultad. [1]

Axiomas de un espacio vectorial. [1]

1-     Si X pertenece a V y Y pertenece a V, entonces X+Y pertenece a V.

2-      Para todo X, Y y Z en V, (x+y)+z = x(y+z).

3-     Existe un vector |0 pertenece V tal que para todo X pertenece a V, X+0=0+X=X.

4-     Si x pertenece a V, existe un vector –x en V tal que x+(-x)=0.

5-     Si X y Y están en V, entonces x+y=y+x.

6-     Si x pertenece a V y a es un escalar, entonces ax pertenece a V.

7-     Si X y Y están en V y a es un ecalar, entonces a(x+y)= ax + ay

8-     Si X pertenece a V y a y b son escalares, entonces (a+b) x = ax+ by.

9-     Si X pertenece a V y a y b son escalares, entonces a(bx) = (ab)x.

10-   Para cada vector X pertenece a V, 1x = x.

Bibliografía:1) Grossman S, S.I., Álgebra Lineal Sexta Edición, 2007.

4.2 Definición de subespacio vectorial y sus propiedades.

DEFINICION DE SUB ESPACIO VECTORIAL 

Sea H un subconjunto no vacío de un espacio vectorial V y suponga que H es en sí un espacio vectorial bajo las operaciones de suma y multiplicación por un escalar definidas en V. Entonces se dice que H es un sub espacio de V. 

Existen múltiples ejemplos de sub espacio, sin embargo, en primer lugar, se demostrará un resultado que hace relativamente sencillo determinar si un subconjunto de V es en realidad sub espacio de V

Teorema de sub espacio

Un subconjunto no vacio de H de un espacio vectorial V es un sub espacio de V si se cumplen las dos reglas de cerradura:

Reglas de cerradura para ver si un subconjunto no vació es un sub espacio

i)                  Si x € H y y € H, entonces x + y € H.

ii)               Si x € H, entonces αx € H para todo escalar α.

Es obvio que si H es un espacio vectorial, entonces las dos reglas de cerradura se deberán cumplir. De lo contrario, para demostrar que es un espacio vectorial, se deberá demostrar que los axiomas i) a x) de la definición cumplen bajo las operaciones de suma de vectores y multiplicación por un escalar definidas en V. Las dos operaciones de cerradura [axiomas i) y iv)] se cumplen por hipótesis, como los vectores en H son también vectores en V, las identidades asociativa, conmutativa, distributiva y multiplicativa [axiomas ii), v), vii), viii), ix) y x)] se cumplen.

Este teorema demuestra que para probar si H es o no es un sub espacio de V, es suficiente verificar que:

x + y y αX están en H cuando x y y  están en H y α es un escalar.

PROPIEDADES DE SUB ESPACIO VECTORIAL

1). El vector cero de V está en H.2

2). H es cerrado bajo la suma de vectores. Esto es, para cada u y v en   

      H, la suma u + v está en H.

3). H es cerrado bajo la multiplicación por escalares. Esto es, para cada

     u en H y  cada escalar c, el vector cu está en H. 

4.3 Combinación lineal. Independencia lineal.

Los vectores son linealmente independientes si tienendistinta dirección y sus componentes no son proporcionales.

Un conjunto de vectores {v₁,v₂,_…,v_k} es un espacio vectorial V es linealmente dependiente si existen escalares c₁,c₂,_…,c_k, al menos uno de los cuales no es cero, tales que:

c₁v₁₊c₂v₂+…+c_kv_k=0

Si los vectores no son linealmente dependientes, se dice que son linealmente independientes.

Criterios de Independencia Lineal

Sean u₁, u₂, …,u_k k vectores en R_n y A la matriz que tiene como columnas a estos vectores, los vectores son linealmente independientes si el sistema Ax = 0 tiene únicamente solución trivial.
Los vectores son linealmente dependientes si el sistema Ax=0 tiene soluciones no triviales (solución múltiple).

Si k=n
Los vectores son linealmente independientes si A es invertible

Si k>nLos vectores son linealmente dependientes.

Dos vectores en un espacio vectorial son linealmente dependientes si uno de ellos es múltiplo escalar del otro.

Un conjunto de vectores linealmente independientes en n contiene a lo más n vectores.

Tres vectores en 3 son linealmente dependientes si y sólo si son coplanares, esto es, que están en un mismo plano. 

Teoremas

1. Cualquier conjunto que contenga al vector 0 es linealmente dependiente.
2. Cualquier conjunto que contenga un único vector diferente de cero, v ≠0, es linealmente independiente.
3. Cualquier conjunto formado por dos vectores diferentes de cero, S = {v₁, v₂}, donde v₁ ≠ 0, v₂ ≠ 0, es linealmente dependiente si, y sólo si, uno de los vectores es múltiplo escalar del otro.
4. Cualquier conjunto que contenga un subconjunto linealmente dependiente es linealmente dependiente.
5. Cualquier subconjunto  de un conjunto linealmente independiente es linealmente independiente.

4.4 Base y dimensión de un espacio vectorial.

Base y dimensión de un espacio vectorial

Un conjunto de vectores S={v1, v2,…, vn} en un espacio vectorial V se denomina base de V si se cumplen las siguientes condiciones.

* S genera a V.

* S es linealmente independiente

Una base posee 2 características que se acaban de ver, debe tener suficientes valores para generar a V, pero no tantos de modo que uno de ellos pueda escribirse como una combinación lineal de los demás vectores en S. Si un espacio vectorial consta de un número finito de vectores, entonces V es de dimensión finita. En caso contrario, V es de dimensión infinita.

Base

En términos generales, una “base” para un espacio vectorial es un conjunto de vectores del espacio, a partir de los cuales se puede obtener cualquier otro vector de dicho espacio, haciendo uso de las operaciones en él definidas.

La base es natural, estándar o canónica si los vectores v₁, v₂,…, v_nforman base para Rⁿ.

Si S={v₁, v₂,…, v_n} es una base para un espacio vectorial V entonces todo vector v en V se puede expresar como:

1.      V = c₁v₁+ c₂v₂+…+ c_nv_n

2.      V = k₁v₁+ k₂v₂+…+ k_nv_n

Restar 2-1

            0 = (c₁- k₁) v₁+(c₂- k₂) v₂+…+(c_n- k_n) v_n

Ejemplo:
demostrar si S = {v₁, v₂,…, v₃} es base de R³, v₁ = (1,2,1); v₂ = (2,9,0); v₃ = (3,3,4)

Proponer vector arbitrario, combinación lineal

b = c₁v₁+ c₂v₂+ c₃v₃
(b₁, b₂, b₃) = c₁(1,2,1)+ c₂(2,9,0)+ c₃(3,3,4)
(b₁, b₂, b₃) = c₁+2c₂+3c₃;2c₁+9c₂+3c₃; c₁+4c₃

c₁    + 2c₂ + 3c₃ = b₁                                      det A = [(1*9*4)+(2*3*1)+0]-[(1*9*3)+0+(4*2*2)]
2c₁ + 9c₂ + 3c₃ = b₂                  = [36+6]-[27+16]
  c₁               + 4c₃ = b₃          = -1                                     Si genera a R³                       

4.5 Espacio vectorial con producto interno y sus propiedades.

Producto Interno:

Un producto interno sobre un espacio vectorial V es una operación que asigna a cada par de vectores u y v en V un número real <u, v>.

Un producto interior sobre V es una función que asocia un número real ‹u, v› con cada par de vectores u y v cumple los siguientes axiomas:

Propiedades:

i. (v, v) ≥ 0

ii. (v, v) = 0 si y sólo si v = 0.

iii, (u, v +w) = (u, v)+ (u, w)

iv. (u + v, w) = (u, w)+(v, w)

v. (u, v) = (v, u)

vi. (αu, v) = α(u, v)

vii. (u, αv) = α(u, v)

Espacios con producto interior:

El producto interior euclidiano es solo uno más de los productos internos que se tiene que definir en Rn Para distinguir entre el producto interno normal y otros posibles productos internos se usa la siguiente notación.

u ●v = producto punto (producto interior euclidiano para Rn)

‹u, v› = producto interno general para espacio vectorial V.

Propiedades de los productos interiores:

1. ‹0, v› = ‹v, 0› = 0

2. ‹u + v, w› = ‹u, w› + ‹v, w›

3. ‹u, cv› = c‹u, v›.

Un espacio vectorial con producto interno se denomina espacio con producto interno.

4.6 Base ortonormal, proceso de ortonormalización de Gram-Schmidt.

Definición de conjunto ortogonales y conjuntos ortonormales Un conjunto S de vectores en un espacio V con producto interior se llama ortogonal si todo par de vectores en S es ortogonal, además cada vector en este conjunto es unitario, entonces S se denomina ortonormal.  Proceso de ortonormalización de Gram-Schmidt 1.       Sea B = {v1, v2, . . ., vn} una base de un espacio V con producto interno 2.      Sea B´= {w1, w2, . . ., wn} donde wi está dado por: w1= v1   Entonces B´ es una base ortogonal de V. 3.      Sea ui= wi ││w1││ entonces el conjunto B´´={ u1, u2, . . ., un} es una base ortonormal de V. Ejemplo: Forma alternativa del proceso de ortonormalización de Gram-Schmidt Determine una base ortonormal del espacio solución del siguiente sistema homogéneo de ecuaciones lineales w+ x +           z= 0 2w+x + 2y+ 6z=0 Solución: La matriz aumentada se reduce como se sigue.  -->  Entonces cada solución del sistema es de la forma Una base del espacio solución es: B= {v1, v2,} = {(-2,2,1,0), (1,-8,0,1)}. Para hallar una base ortonormal B´= {u1, u2}, se usa la forma alternativa del proceso de ortonormalización de Gram- Schmidt como sigue. Construcción de un conjunto ortonormal.